Barisan dan Deret

A. Pola bilangan.

Barisan bilangan Real adalah susunan atau deretan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu yang dapat berupa rumus, bentuk aljabar dan bentuk persamaan..

Contoh :          4, 8, 12,... disebut barisan bilangan genap.

                        1,4,9,16,... disebut bilangan persegi.

Setiap bilangan yang membentuk satu barisan dinamakan suku.

Secara umum sebuah barisan ditulis ; U₁, U₂, U₃, ...U_n

Deret merupakan deretan bilangan yang antara suku satu dengan lainnya dihubungkan dengan tanda jumlah ( + ).

Deret suatu bilangan ditulis : U₁ + U₂  + U₃ + ... + U_n

Un disebut suku yang ke n.

B. Barisan aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap suku-sukunya beruru-tan dan mempunyai selisih (beda) yang tetap (konstan)

Contoh :          4, 8, 12,... beda ( b ) = 4.

                        10,7,4,...  beda ( b ) = - 3.

Suatu  barisan bilangan  ; U₁, U₂, U₃, ...U_n disebut barisan Aritmatika jika berlaku :

U₂ -  U₁ =  U₃  - U₂ = Un - U_n-1 konstan ( tetap )yang disebut beda. B = Un – U_n-1.

Contoh

Tentukan  beda dari barisan aritmatika berikut :

a.         1,3,5,7,,9...                  b. 16,14,12,10,...

Jawab :

a.    b = 3 – 1 = 2.

b.    b = 14 – 16 = - 2

Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika jika suku pertama (U1) = a dengan bedanya b  maka U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

Sehingga Un = a + (n – 1) b

Dimana Un = Suku yang ke – n, a = suku yang pertama dan b = beda .

Suku tengah barisan aritmatika

Suku tengah dari barisan aritmatika  terjadi jika banyaknya suku ganjil, dirumuskan :

Ut = ½ ( a + Un ).

C. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap suku – sukunya berurutan dan mempunyai pembanding / rasio yang tetap ( konstan ).

Misal   : 1, 3, 9, 27, ...  rasio ( r ) = 3.

1, ½, ¼, 1/8, ...ratio ( r ) = ½..

Suatu  barisan bilangan  ; U₁, U₂, U₃, ...Un disebut barisan geometri,  jika berlaku :

U₂ :  U₁ =  U₃  : U₂ = U_n : U_n-1 konstan ( tetap )yang disebut ratio ( r. )  = U_n : U_n-1.

Rumus suku ke – n dari barisan aritmatika jika suku pertama ( U₁) = a dengan ratio (r)  maka:

U₂ = U₁ . r = ar.

U₃ = U₂ .r = a r.r =  ar²

U₄ = U₃ .r = ar².r = ar³

Sehingga Un = ar^{n – 1.}

Dimana U_n = Suku yang ke – n, a = suku yang pertama dan r = ratio .

Deret Gerometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret yang menyatakan banyaknya suku  tak terhingga.

Dirumuskan : S_∞ = a / 1-r

Deret Geometri

Bila suku –suku barisan geometri dijumlahkan maka akan diperoleh deret geometri :

U₁ + U₂  + U₃, +  ... + U_n   atau

U₁  + U1 .r + U₁r² + U₁ r³ + ... + U₁ r^{n – 1}. Atau

a  + a.r + a² + ar³ + ... + ar^{n – 1}.

Rumus n jumlah suku pertama deret geometri adalah :

Sn = a (1-rⁿ)/1-r                      jika r < 1, r ≠ 1  atau

Sn = a(rⁿ-1)/r-1                       jika r > 1, r ≠ 1

Sumber : http://rumusmatika.blogspot.com/2012/12/barisan-dan-deret.html